Multiple Lineare Regression II

Visualisierung der Daten und Behandlung der Übungsaufgaben 1-4 zur multiplen linearen Regression mit R
Übungsaufgaben
Regression
Standardschätzfehler
VIF
Toleranz
Autor:in

Joao Schneider

Veröffentlichungsdatum

6. November 2022

Pakete

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Aufgabe 1

In einer studie soll die Arbeitsleistung von angestellten \(y\) mit Hilfe dreier Skalen eines Persönlichkeitsfragebogens vorhergesagt werden. Die Skalen sind: soziale kompetenz \(x_1\), Neurotizismus \(x_2\) und Gewissenhaftigkeit \(x_3\). Bei 10 Personen werden die Variablen erfasst. Die Daten lauten:

Person y x1 x2 x3
1 4 3 8 1
2 5 4 8 3
3 7 3 5 5
4 6 5 6 6
5 8 3 7 1
6 9 6 6 3
7 6 5 4 2
8 7 6 3 2
9 8 5 2 3
10 9 6 2 3
  1. Berechnen Sie eine multiple linearen Regression mit SPSS von y auf die drei Prädiktoren. Interpretieren Sie die Tabellen Modellzusammenfassung und ANOVA, welche von SPSS ausgegeben werden.
  2. Wie groß ist der Standardschätzfehler? Wie viele Freiheitsgrade besitzt er?
  3. Vergleichen Sie den Standardschätzfehler mit der Standardabweichung der abhängigen Variablen.
  4. Die Regressionskoeffizienten sind in Tabelle 1 gegeben. Interpretieren sie die partiellen Steigungen.

Daten einlesen

df_3 <- read_sav(here("data", "mult2", "daten.sav")) %>%
        zap_formats() %>% 
        janitor::clean_names() %>% 
        tibble() %>% 
        mutate(Person = 1:10)

df_3 %>% select(-Person) %>% 
         gt_preview(top_n = 3) %>% 
         tab_stubhead(label = "Person") %>% 
         cols_align(align = "center", columns = everything())
Person y x1 x2 x3
1 4 3 8 1
2 5 4 8 3
3 7 3 5 5
4..9
10 9 6 2 3

Visualisierung

Code
df_temp %>% pivot_longer(names_to = "var", values_to = "x", -c(Person, y)) %>% 
            mutate(Prediktor = case_when(var == "x1" ~ paste(var, "Sozialkompetenz", sep = ": "),
                                         var == "x2" ~ paste(var, "Neurotizismus", sep = ": "),
                                         var == "x3" ~ paste(var, "Gewissenhaftigkeit", sep = ": "))) %>%
            ggplot(aes(x = x, y = y)) + 
            geom_jitter(width = 0.15, height = 0.15) +
            stat_smooth(geom = "smooth", method = "lm", 
                        formula = 'y ~ x', se = FALSE, fullrange = TRUE) +
            facet_grid(~Prediktor) +
            labs(x = bquote('Persönlichkeitsskala '(X[i])), 
                 y = bquote('Arbeitsleistung '(Y)) ) +
            theme_bw()

Teilaufgabe a

Berechnen Sie eine multiple linearen Regression mit SPSS von y auf die drei Prädiktoren.

\[ \operatorname{Y} = b_{0} + b_{1}x_1 + b_{2}x_2 + b_{3}x_3 + \epsilon \]

mdl_1 <- lm(y ~ x1 + x2 + x3, data = df_3)
  • In der oberen Menu-Leiste Klick auf Analysieren
  • im Dropdownmenu unter dem Punkt Regression ➡️ Linear… auswählen
  • die AV Leistung [Y] markieren und mit Klick auf ↪️ zu Abhängige Variable hinzufügen
  • die drei UVs Soziale Kompetenz [X1], Neurotizismus [X2] und Gewissenhaftigkeit [X3] markieren und mit Klick auf ↪️ zu Unabhängige Variable(n) hinzufügen
  • Optional: nach Klick auf den Button Statistiken… im Pop-up Fenster die Option ☑️ Deskriptive Statistik sowie ☑️ Konfidenzintervalle anwählen und mit Klick auf Weiter bestätigen
  • mit Klick auf 🆗 im vorherigen Fenster die Analyse ausführen oder besser nach Klick auf Einfügen im Syntax-Fenster ausführen.

Im Output werden die unten dargestellten Tabellen ausgegeben.

Alternativ folgende Syntax eingeben

REGRESSION
  /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N
  /MISSING LISTWISE
  /STATISTICS COEFF OUTS CI(95) R ANOVA
  /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)
  /NOORIGIN 
  /DEPENDENT Y
  /METHOD=ENTER X1 X2 X3.

Interpretieren Sie die Tabellen Modellzusammenfassung und ANOVA, welche von SPSS ausgegeben werden.

sum_obj <- summary.lm(mdl_1)

sqrt(sum_obj$r.squared)
[1] 0.608212
sum_obj

Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3, data = df_3)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.5060 -0.9447 -0.3618  0.6597  2.1757 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  7.156029   3.869435   1.849    0.114
x1           0.300670   0.555995   0.541    0.608
x2          -0.318334   0.307090  -1.037    0.340
x3          -0.005382   0.341653  -0.016    0.988

Residual standard error: 1.617 on 6 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3699,    Adjusted R-squared:  0.05488 
F-statistic: 1.174 on 3 and 6 DF,  p-value: 0.3949

Das Kriterium Arbeitsleistung (\(y\)) korreliert mit den durch die Prädiktoren vorhergesagten Werten (\(\hat{y}\)) zu \(R=.61\).1

Mit \(R^2=.37\) wird mehr als ein Drittel der Varianz durch das Modell aufgeklärt (36.99%). Der korrigierte Determinationskoeffizient \(R_{adj.}^2=.05\) fällt deutlich geringer aus (5.49%), was auf die geringe Stichprobengröße von nur \(n=10\) Personen zurückgeführt werden kann.

Die Hypothese \(H_0: ϱ^2 = 0\) bzw. \(H_0: \beta_1 = \beta_2 = \beta_3 = 0\) kann mit \(F(3,6)=1.17\), \(p>.05\) nicht verworfen werden, d.h. es kann für keinen der Prädiktoren gezeigt werden, dass er einen signifikanten Anteil an Varianz aufklärt (\(p=0.39\)).

Die einzelnen (mittleren) Quardratsummen können in R mittels anova(mdl_1) ausgegeben werden:

anova(mdl_1) # %>% tidy()
Analysis of Variance Table

Response: y
          Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
x1         1  6.4000  6.4000  2.4476 0.1687
x2         1  2.8104  2.8104  1.0748 0.3398
x3         1  0.0006  0.0006  0.0002 0.9879
Residuals  6 15.6889  2.6148

Die Interpretation der Werte erfolgt analog zu jener via R.

Teilaufgabe b

Wie groß ist der Standardschätzfehler? Wie viele Freiheitsgrade besitzt er?

Standardschätzfehler und dessen Freiheitsgrade sind im summary.lm-Objekt (vgl. str(sum_obj)):

s_e <- sum_obj$sigma
deg_free <- sum_obj$df[2] # or: mdl_1$df.residual

s_e; deg_free
[1] 1.617042
[1] 6

Standardschätzfehler beträgt \(\hat{\sigma}=\) 1.62 und hat \(df=6\) Freiheitsgrade.

Für mehr siehe: ?summary.lm()

Teilaufgabe c

Vergleichen Sie den Standardschätzfehler mit der Standardabweichung der abhängigen Variablen.

df_3 %$% sd(y)
[1] 1.66333

Die Standardabweichung der AV beträgt \(s_y=\) 1.66. Im Vergleich zu deren Streuung sollte der Fehler entsprechend kleiner ausfallen, sofern die Prädiktoren eine gute Vorhersagt liefern. Jedoch ist \(\hat{\sigma}=\) 1.62, sprich ähnlich groß, was nicht für das Modell spricht.

Teilaufgabe d

Die Regressionskoeffizienten sind in Tabelle 1 gegeben. Interpretieren Sie die partiellen Steigungen.

sum_obj %>% coefficients()
sum_obj %>% coefficients() %>% 
            data.frame() %>% 
            rownames_to_column(var = "Quelle") %>% 
            mutate_if(is.numeric, ~round(., 2)) %>% # str()
            rename(b = "Estimate", SE = "Std..Error", t = "t.value", p = "Pr...t..") %>% 
            rstatix::p_format(digits = 2, leading.zero = FALSE) %>% 
            kbl() %>%
            kable_paper("hover", full_width = F)

Merke: Die partielle Steigung \(b_j\) gibt die erwartete Veränderung des Kriteriums \(y\) an, die einer Erhöhung des j-ten Prädiktors um eine Einheit entspricht, wenn die anderen \(k-1\) Prädiktoren konstant sind.

Gegeben die Skalen zur Messung der Prädiktoren sind vergleichbar, dann können deren unstandardisierte Gewichte \(b_i\) wie folgt interpretiert werden:

  • \(b_1 = 0.30\): Werden die Werte für Neurotizismus (\(x_2\)) und Gewissenhaftigkeit (\(x_3\)) konstant gehalten, so geht eine Steigerung um einen Punkt auf der Skala soziale kompetenz (\(x_1\)) mit einer Steigerung der Arbeitsleistung (\(y\)) um 0.3 Einheiten einher.
  • \(b_2 = -0.32\): Werden die Werte für soziale kompetenz (\(x_1\)) und Gewissenhaftigkeit (\(x_3\)) konstant gehalten, so geht eine Steigerung um einen Punkt auf der Skala Neurotizismus (\(x_1\)) mit einer Verringerung der Arbeitsleistung (\(y\)) um -0.32 Einheiten einher.
  • \(b_3 = -0.01\): Werden die Werte für soziale kompetenz (\(x_1\)) und Neurotizismus (\(x_2\)) konstant gehalten, so geht eine Steigerung um einen Punkt auf der Skala Gewissenhaftigkeit (\(x_3\)) mit einer Steigerung der Arbeitsleistung (\(y\)) um -0.01 Einheiten einher.

Dabei ist keine diese Veränderungen signifikant (alle Werte \(p > .05\)).

Aufgabe 2

Aufgabe 2

Die Ergebnisse in Tabelle 1 lassen sich mit einfachen Formeln berechnen, wenn man den bereinigten Prädiktor verwendet. Da die Berechnungen für alle Prädiktoren gleich sind, genügt es, \(x_1\) zu betrachten. Erzeugen Sie folgende Werte, welche in der \(x_1\)-Zeile in Tabelle 1 stehen, mit Hilfe des bereinigten Prädiktors \(x_1^*\).

  1. Regressionskoeffizient: \(b_1 = 0.301\)
  2. Standardfehler: \(s_{b_1} = 0.556\)
  3. Beta-Koeffizient: \(\beta_1 = 0.229\)
  4. t-Wert: \(t=0.541\)
  5. p-Wert: \(p=0.608\)
  6. Untergrenze des 95%-KI: \(KI_{UG}^{95\%}=-1.060\)
  7. Obergrenze des 95%-KI: \(KI_{OG}^{95\%}=1.661\)

Teilaufgabe a

Regressionskoeffizient: \(b_1 = 0.301\)

Wir berechnen zunächst die bereinigte x3 Variable:

lm(x1 ~ x2 + x3, data = df_3) %>% residuals() %>% 
                                  data.frame(Person = 1:10, x1_star = .) %>% 
                                  right_join(df_3, by = "Person") %>% 
                                  relocate(x1_star, .after = x3) -> df_3_edit

\(b_1\) kann nun über folgende Formel berechnet werden:

\[ b_j = sr_j \frac{s_y}{s_j^*} \]

Wir berechnen also die fehlenden Variablen

  • \(sr_j\): Korrelation von Arbeitsleistung mit der bereinigten Variablen
  • \(s_y\): Standardabweichung der AV Arbeitsleistung
  • \(s_j^*\): Standardabweichung der bereinigten Variablen \(x_1^*\)

und setzen diese in die Formel ein:

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star)) -> df_3_stat

df_3_stat %>% pull(b1) %>% 
              round(3)
[1] 0.301
  • In der oberen Menu-Leiste Klick auf Analysieren
  • im Dropdownmenu unter dem Punkt Regression ➡️ Linear… auswählen
  • die AV Soziale Kompetenz [X1] markieren und mit Klick auf ↪️ zu Abhängige Variable hinzufügen
  • die beiden verbleibenden UVs Neurotizismus [X2] und Gewissenhaftigkeit [X3] markieren und mit Klick auf ↪️ zu Unabhängige Variable(n) hinzufügen
  • Nach Klick auf den Button Speichern… im Pop-up Fenster in der Rubrik Residuen die Option ☑️ Nicht standardisiert anwählen und mit Klick auf Weiter bestätigen
  • mit Klick auf 🆗 im vorherigen Fenster die Analyse ausführen

Im Datensatz ist die neue Variable RES_1 hinzugefügt worden. Umbenennung zu X1_star.

Teilaufgabe b

Standardfehler: \(s_{b_1} = 0.556\)

Der Standardfehler \(s_{b_1}\) wird mit folgender Formel berechnet

\[ s_{b_j} =\frac{s_e}{\sqrt{QS_j^*}} \]

\[ s_j^* = \sqrt{\frac{QS_j^*}{n-1}} \]

Umstellung nach \(\sqrt{QS_j^*}\) liefert:

\[\sqrt{QS_j^*} = s_j^* \times \sqrt{n-1}\]

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star),
                        #' Teil b: s_b_1
                        N = nrow(df_3),
                        sqrt_QS1_star = s1_star * sqrt(N-1),
                        QS1_star = sqrt_QS1_star^2,
                        sb1 = s_e / sqrt_QS1_star) -> df_3_stat

df_3_stat %>% pull(sb1) %>% round(3)
[1] 0.556

Teilaufgabe c

Beta-Koeffizient: \(\beta_1 = 0.229\)

Multiplikation von \(b_1\) mit der Standardabweichung von \(x_1\) (\(s_{x_1}\)) geteilt durch die Standardabweichung von \(y\) (\(s_y\)):

\[ \beta_j = b_j \frac{s_{x_j}}{s_y} \]

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star),
                        #' Teil b: s_b_1
                        N = nrow(df_3),
                        sqrt_QS1_star = s1_star * sqrt(N-1),
                        QS1_star = sqrt_QS1_star^2,
                        sb1 = s_e / sqrt_QS1_star,
                        #' Teil c: Beta 1
                        s1 = sd(x1),
                        beta1 = b1 * (s1 / sy)) -> df_3_stat

df_3_stat %>% pull(beta1) %>% round(3)
[1] 0.229

Teilaufgabe d

t-Wert: \(t=0.541\)

Der t-Wert ergibt sich durch Teilen des Steigungskoeffizienten durch den Standardfehler: \[ t=\frac{b_j}{s_{b_j}} \]

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star),
                        #' Teil b: s_b_1
                        N = nrow(df_3),
                        sqrt_QS1_star = s1_star * sqrt(N-1),
                        QS1_star = sqrt_QS1_star^2,
                        sb1 = s_e / sqrt_QS1_star,
                        #' Teil c: Beta 1
                        s1 = sd(x1),
                        beta1 = b1 * (s1 / sy),
                        #' Teil d: t-Wert
                        t_val = b1 / sb1) -> df_3_stat

df_3_stat %>% pull(t_val) %>% round(3)
[1] 0.541

Teilaufgabe e

p-Wert: \(p=0.608\)

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star),
                        #' Teil b: s_b_1
                        N = nrow(df_3),
                        sqrt_QS1_star = s1_star * sqrt(N-1),
                        QS1_star = sqrt_QS1_star^2,
                        sb1 = s_e / sqrt_QS1_star,
                        #' Teil c: Beta 1
                        s1 = sd(x1),
                        beta1 = b1 * (s1 / sy),
                        #' Teil d: t-Wert
                        t_val = b1 / sb1,
                        #' Teil e: p-Wert
                        p_val = pt(t_val, df = N-3-1, lower.tail = FALSE)*2) -> df_3_stat

df_3_stat %>% pull(p_val) %>% round(3)
[1] 0.608

Teilaufgabe f, g

Untergrenze des 95%-KI: \(KI_{UG}^{95\%}=-1.060\) Obergrenze des 95%-KI: \(KI_{OG}^{95\%}=1.661\)

\[ b_1 - t_{krit} \times s_{b_1} \leq \beta_1 \leq b_1 + t_{krit} \times s_{b_1} \]

Formel:

\[ KI_{UG} = b_1 - t_{krit} \times s_{b_1} KI_{OG} = b_1 + t_{krit} \times s_{b_1} \]

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star),
                        #' Teil b: s_b_1
                        N = nrow(df_3),
                        sqrt_QS1_star = s1_star * sqrt(N-1),
                        QS1_star = sqrt_QS1_star^2,
                        sb1 = s_e / sqrt_QS1_star,
                        #' Teil c: Beta 1
                        s1 = sd(x1),
                        beta1 = b1 * (s1 / sy),
                        #' Teil d: t-Wert
                        t_val = b1 / sb1,
                        #' Teil e: p-Wert
                        p_val = pt(t_val, df = N-3-1, lower.tail = FALSE)*2,
                        #' Teil f, g: KI UG, OG 
                        t_krit = qt(p = 0.975, df = deg_free),
                        KI_UG = b1 - t_krit * sb1,
                        KI_OG = b1 + t_krit * sb1) -> df_3_stat

df_3_stat %>% select(starts_with("KI")) %>% round(3)
  KI_UG KI_OG
1 -1.06 1.661

Aufgabe 3

Aufgabe 3

In Tabelle 2 sind Korrelationen sowie Kollinearitätsstatistiken enthalten, die in SPSS leicht angefordert werden können.

  1. Welche Korrelationen sind dies?
  2. Berechnen Sie die Toleranz des ersten Prädiktors sowie dessen Varianz-Inflations-Faktor.
  3. Zurück zur Interpretation der Steigungskoeffizienten. Der dritte Prädiktor hat praktisch eine Steigung von null, wenn die anderen Prädiktoren im Modell sind. Ist dieser Prädiktor redundant, da er keinen eigenen Beitrag zur Vorhersage des Kriteriums leisten kann?

Teilaufgabe a

Welche Korrelationen sind [gemeint]?

Korrelationen 0ter Ordnung

df_3 %>% select(starts_with(c("x", "y"))) %>% 
         cor() %>% 
         data.frame() %>% 
         rownames_to_column(var = "var") %>% 
         filter(var == "y") %>% 
         select(starts_with("x")) %>% 
         mutate(Korrelation = "pearson", .before = "x1") -> df_cor_1

Partielle Korrelationen

df_3 %>% select(starts_with(c("x", "y"))) %>% 
         ppcor::pcor() %$% estimate %>% 
         data.frame() %>% 
         rownames_to_column(var = "var") %>% 
         filter(var == "y") %>% 
         select(starts_with("x")) %>% 
         mutate(Korrelation = "partiel", .before = "x1") -> df_cor_2

Teilkorrelationen

df_3 %>% select(starts_with(c("x", "y"))) %>% 
         ppcor::spcor() %$% estimate %>% 
         data.frame() %>% 
         rownames_to_column(var = "var") %>% 
         filter(var == "y") %>% 
         select(starts_with("x")) %>% 
         mutate(Korrelation = "semipartiell", .before = "x1") -> df_cor_3
bind_rows(df_cor_1, df_cor_2, df_cor_3) %>% mutate_if(is.numeric, ~round(., 3))
   Korrelation    x1     x2     x3
1      pearson 0.507 -0.582  0.080
2      partiel 0.216 -0.390 -0.006
3 semipartiell 0.175 -0.336 -0.005

Teilaufgabe b

Berechnen Sie die Toleranz des ersten Prädiktors sowie dessen Varianz-Inflations-Faktor.

\[Tol_j = 1-R^2 \Longleftrightarrow Tol_j = \frac{QS_j^*}{QS_j}\] Der VIF ergibt sich als Kehrwert der Toleranz: \[VIF_j = \frac{1}{Toj_j}\]

df_3_edit %>% summarise(sr1 = cor(y, x1_star),
                        sy = sd(y),
                        s1_star = sd(x1_star),
                        b1 = sr1 * (sy/s1_star),
                        #' Teil b: s_b_1
                        N = nrow(df_3),
                        sqrt_QS1_star = s1_star * sqrt(N-1),
                        QS1_star = sqrt_QS1_star^2,
                        sb1 = s_e / sqrt_QS1_star,
                        #' Teil c: Beta 1
                        s1 = sd(x1),
                        beta1 = b1 * (s1 / sy),
                        #' Teil d: t-Wert
                        t_val = b1 / sb1,
                        #' Teil e: p-Wert
                        p_val = pt(t_val, df = N-3-1, lower.tail = FALSE)*2,
                        #' Teil f, g: KI UG, OG 
                        t_krit = qt(p = 0.975, df = deg_free),
                        KI_UG = b1 - t_krit * sb1,
                        KI_OG = b1 + t_krit * sb1,
                        #' Aufg. 3b) VIF bzw. Tol
                        QS1 = (s1^2) * (N-1),
                        VIF = QS1 / QS1_star,
                        Tol = 1/VIF) -> df_3_stat

df_3_stat %>% select(VIF, Tol) %>% round(3)
    VIF   Tol
1 1.702 0.587

Mit R lässt sich der VIF mittels vif()-Funktion aus dem car-Paket berechen:

mdl_1 %>% car::vif() %>% 
          data.frame(VIF = .) %>% 
          mutate(Tol = 1/VIF) %>% 
          round(3)
     VIF   Tol
x1 1.702 0.587
x2 1.691 0.591
x3 1.022 0.978

The VIF of a predictor is a measure for how easily it is predicted from a linear regression using the other predictors

Teilaufgabe c

Zurück zur Interpretation der Steigungskoeffizienten. Der dritte Prädiktor hat praktisch eine Steigung von null, wenn die anderen Prädiktoren im Modell sind. Ist dieser Prädiktor redundant, da er keinen eigenen Beitrag zur Vorhersage des Kriteriums leisten kann?

Redundanz als mögliche Erklärung wirkt zunächst plausibel, allerdings hat \(x_3\) die höchste Toleranz \(Tol_{x_3} = 0.97\), d.h. völlig eigenständige Variable, die aber niedrige Korrelation mit AV hat (aber: die anderen beiden Variablen sind nicht dafür verantwortlich, dass diese Korrelation so gering ist!)

car::vif(mdl_1)
      x1       x2       x3 
1.702403 1.691458 1.022267

Aufgabe 4

Aufgabe 4

Verlgleichen Sie den t-Test der partiellen Korrelation \(r_{y1\cdot23}\) mit dem t-Test der partiellen Steigung \(b_1\) der Regression von \(y\) auf \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\).

t-Test partielle Korrelation

df_3 %>% select(starts_with(c("x", "y"))) %>% 
         ppcor::pcor() # %$% p.value %>% 
$estimate
            x1          x2           x3            y
x1  1.00000000 -0.48494555  0.087233274  0.215580398
x2 -0.48494555  1.00000000 -0.035821089 -0.389733364
x3  0.08723327 -0.03582109  1.000000000 -0.006430766
y   0.21558040 -0.38973336 -0.006430766  1.000000000

$p.value
          x1        x2        x3         y
x1 0.0000000 0.2232266 0.8372655 0.6081360
x2 0.2232266 0.0000000 0.9328929 0.3398749
x3 0.8372655 0.9328929 0.0000000 0.9879426
y  0.6081360 0.3398749 0.9879426 0.0000000

$statistic
           x1          x2          x3           y
x1  0.0000000 -1.35827208  0.21449468  0.54077777
x2 -1.3582721  0.00000000 -0.08779974 -1.03661540
x3  0.2144947 -0.08779974  0.00000000 -0.01575242
y   0.5407778 -1.03661540 -0.01575242  0.00000000

$n
[1] 10

$gp
[1] 2

$method
[1] "pearson"
# t = 0.541
# p =  .608

t-Test Regression

summary.lm(mdl_1)

Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3, data = df_3)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.5060 -0.9447 -0.3618  0.6597  2.1757 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  7.156029   3.869435   1.849    0.114
x1           0.300670   0.555995   0.541    0.608
x2          -0.318334   0.307090  -1.037    0.340
x3          -0.005382   0.341653  -0.016    0.988

Residual standard error: 1.617 on 6 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.3699,    Adjusted R-squared:  0.05488 
F-statistic: 1.174 on 3 and 6 DF,  p-value: 0.3949
# t = 0.541
# p =  .608

Fußnoten

  1. R gibt diesen Wert nicht standardmäßig aus, er muss im Gegensatz zu SPSS wie oben aufgeführt berechnet werden.↩︎