Moderierte Multiple Regression

Einführung

Moderatoranalysen können mittels Strukturgleichungsmodell (SEM, späterer Post) berechnet werden, wobei allgemein von Kausalmodellen bzw. der Kausalanalyse die Rede ist (obgleich damit keine Kausalität nachgewiesen wird). Gleiches gilt für Mediatoranalysen (späterer Post). Da für Mediatoren mehrere Regressionen notwendig sind, werden insbesondere sie mittels SEM analysiert, wohingegen für Moderatoren eine simple multiple Regression ausreichend ist. Entsprechend widmen wir uns zunächst dieser.

Strenggenommen sind Moderatoren bereits aus der Varianzanalyse (ANOVA) bekannt, wobei dort von Interaktion(seffekten) die Rede ist – sprich: zwei (oder mehr) unabhängige Variablen (UV) haben nicht ausschließlich einen Haupeffekt, sondern interagieren miteinander. Im hießigen Kontext der Regression wird bei zwei UVs einer dieser als Moderator festgelegt, dies ist also kein Ergebnis der Analyse. Im Vergleich zur ANOVA kann dieser Moderator zwar (poly-)chotom sein (dummycodierte Regression), dies stellt jedoch keine notwendige Voraussetzung dar, d.h. auch kontinuierliche Variablen können als Moderatoren dienen¹. Für die übrige(n) UV gilt dasselbe, d.h. auch sie können metrisch oder (poly-)chotom sein. Sind sowohl Moderator als auch UV polychotom, so ist die multiple Regression äquivalent zur ANOVA. Das einfachse Design einer \(2\times2\) ANOVA bedeutet auf die Regression übertragen, dass eine der unabhängigen Variablen die Rolle des (dichotomen) Moderators einnimmt, die andere die der (dichotomen) UV. Die Rollen lassen sich in diesem Fall und auch für alle anderen symmetrischen Designs tauschen, sofern inhaltlich logisch und sinnvoll.

Formale Schreibweise und Syntax der MMR

Moderierte Multiple Regression

Das Hinzufügen einer Moderatorvariablen \(w\) bedeutet für die Regression, dass eine weitere Variable (Interaktionsterm \(x\times w\)) zur Regression hinzugefügt werden muss. Dieser Produktterm erhält ebenso einen eigenen Steigungskoeffinienten², wobei der neue Produktterm die Interpretation der bisherigen Steigungskoeffizienten verändert. Dies wird in der formalen Schreibweise (für den einfachsten Fall einer UV und eines Moderators) deutlich:

\[\hat{y} = b_0 + xb_1 + wb_2 + xwb_3\]

Die formale Schreibweise gleicht der in R verwendeten (bereits bekannten) Syntax:

lm(y ~ x + w + x:w)

Dabei meint x:w ausschließlich den Interaktionsterm. Diese lange Schreibweise lässt sich zu lm(y~x*w) verkürzen, ist innhaltlich jedoch gleichbedeutetend. Nur für diesen Post verwenden wir explizit die lange Schreibweise, um auf den “neuen” Produktterm hinzuweisen.

Konzeptionell wird das Moderationsmodell wie in folgendem Diagramm dargestellt:

Registered S3 methods overwritten by 'broom':
  method            from  
  tidy.glht         jtools
  tidy.summary.glht jtools

Pakete

library(magrittr)
library(dplyr)
library(tidyr)
library(tibble)

library(here)
library(haven)

library(ggplot2)

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Aufgabe 1

Hayes (2022, Abschn. 7.2) diskutiert eine Studie, an der \(n=211\) Personen teilnahmen. Die Studie untersuchte, ob die Rechtfertigung Hilfe während einer Hungersnot zu unterlassen auf das Framing ihrer Ursache zurückgeführt werden kann. Die folgenden drei Variablen justify, frame und skeptic werden analysiert:

• Zunächst wird die Variable skeptic verwendet, welche ein numerischer Index dafür ist, ob Klimawandel real ist. Personen besitzen hohe Werte auf skeptic, wenn sie Klimawandel eher als nicht real betrachten. Diese Variable ist der Moderator in der folgenden Analyse.
• Die unabhängige Variable frame der Studie ist eine dichotome Variable. Unter der einen Bedingung wird die Dürre, der Grund der Hungersnot, als durch den Klimawandel verursacht darstellt frame=1. Unter der anderen Bedingung wird der Grund der Dürre nicht kommentiert frame=0.
• Die abhängige Variable justify ist ein numerischer Index, der die Akzeptanz, Hilfe zu unterlassen, quantitativ ausdrückt. Personen besitzen hohe Wert auf justify, wenn sie sich eher gegen Hilfe aussprechen.

1. Berechnen Sie deskriptive Kennwerte (Mittelwert und Standardabweichung) für beide Gruppen.
2. Berechnen Sie die moderierte multiple Regression und prüfen Sie, ob skeptic den Framing-Effekt moderiert.
3. Interpretieren Sie die Steigungen \(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\).
4. Fertigen Sie ein Streudiagramm an, in welchem die Regressionsgeraden der beiden Gruppen eingezeichnet sind.
5. Testen Sie die bedingten Framing-Effekte für \(W = 4\) durch zentrieren des Prädiktors.
6. Testen Sie die bedingten Framing-Effekte für \(W = 4\) mit Hilfe der Formeln. Der t-Wert wird folgendermaßen berechnet:

\[ t = \frac{b_1+b_3w}{SE_{\theta X\rightarrow Y}} \] wobei

\[ SE_{\theta X\rightarrow Y} = \sqrt{SE_{b1}^2+2w \times {COV}_{b_1b_3}+w^2 \times SE_{b_3}^2} \]

Daten

df_dstr_raw <- read_sav(here("data", "modreg", "disaster.sav"))

df_dstr <- df_dstr_raw %>% haven::zap_label() %>% 
                           haven::zap_formats() %>% 
                           mutate(frame = factor(frame, levels = c(0, 1),
                                  labels = c("Natural causes", "Climate change")))
                                # Natural causes = drought

Teilaufgabe a

Berechnen Sie deskriptive Kennwerte (Mittelwert und Standardabweichung) für beide Gruppen.

df_dstr %>% column_to_rownames(var = "id") %>%
            group_by(frame) %>% 
            summarise_all(list(M = mean, SD = sd))

	donate		justify		skeptic
frame	M	SD	M	SD	M	SD
Natural causes	4.56	1.36	2.80	0.85	3.34	2.04
Climate change	4.65	1.27	2.94	1.01	3.42	2.03

Teilaufgabe b

Berechnen Sie die moderierte multiple Regression und prüfen Sie, ob skeptic den Framing-Effekt moderiert.

Die Versuchspersonen erhalten einen Bericht über eine Hungersnot, in dem als Ursache der Klimawandel oder eine andere nicht näher erläuterte natürliche Ursache aufgeführt ist. Es wird angenommen, dass dieses Framing (frame) einen Einfluss darauf hat, wie stark Menschen helfen bzw. hier nicht helfen, gemessen als Akzeptanz Hilfe zu unterlassen (justify). Vor der eigenltichen MMR betrachten wir dieses einfache Modell:

lm(justify ~ frame, data = df_dstr) %>% summary()

term	b	SE	t	p
(Intercept)	2.80	0.09	31.62	<.001
frameClimate change	0.13	0.13	1.05	.3

Die Rahmenbedingungen leisten hier keinen signifikanten Einfluss zur Erklärung der abhängigen Variablen, das Modell erklärt nur 0.5% an Varianz. Wir nehmen nun also an, dass dieser Zusammenhang nur deswegen nicht gezeigt werden kann, weil die individuelle Vorstellung, ob der Klimawandel überhaupt real ist, diesen Zusammenhang moderiert. Wird der Klimawandel als ebenso natürlich wie eine tatsächlich natürliche Dürre eingeschätzt, so gibt es keinen Unterschied zwischen den beiden Bedingungen (beide natürlich). Nur wenn überhaupt diskriminiert wird, kann ein Einfluss vorhanden sein. skeptic wird numerischer Index dafür ermittelt, ob der Klimawandel als real eingeschätzt wird.

lm(justify ~ frame + skeptic + frame:skeptic, data = df_dstr) %>% summary()

term	b	SE	t	p
(Intercept)	2.45	0.15	16.45	<.001
frameClimate change	-0.56	0.22	-2.58	.011
skeptic	0.11	0.04	2.76	.006
frameClimate change:skeptic	0.20	0.06	3.64	<.001

Dieses Modell klärt knapp 25% an Varianz auf.

Teilaufgabe c

Interpretieren Sie die Steigungen \(b_1\), \(b_2\) und \(b_3\).

Alle Steigungskoeffizienten sind signifikant von null verschieden (alle \(p<.05\)) und somit theoretisch bedeutsam, wieso für alle eine theoretische Interpretation in Anlehnung an Hayes (2022, S. 255) betrachtet wird:

\(b_1=-0.562\) kann für jene Gruppe interpretiert werden, für die die Skepsis gegenüber dem Klimawandel null Punkte beträgt (d. h. \(w=0\)). Für genau diese Gruppe ist \(b_1\) der (geschätzte) Unterschied in der Stärke der rechtfertigten unterlassenen Hilfe zwischen der Gruppe, der gesagt wurde, der Klimawandel sei für die Dürre verantwortlich vs. jener Gruppe, der dies nicht gesagt wurde.

Der Koeffizient ist negativ, was bedeutet, dass diejenigen, denen gesagt wurde, der Klimawandel sei für die Dürre verantwortlich (X = 1), eine schwächere Rechtfertigung für die unterlassene Hilfleistung aufweisen, als all jene, denen nichts über den Klimawandel als Ursache gesagt wurde (X = 0). Obwohl diese Interpretation mathematisch korrekt ist, ist sie inhaltlich unsinnig. Das Skala auf der die Skepsis gegenüber dem Klimawandel gemessen wurde, kann nur Werte zwischen 1 und 9 annehmen. Die Schätzung des Effekts der Manipulation (Rahmen) ist abhängig von dem Wert der Skepsis und kann nur interpretiert werden, wenn die Skepsis null wäre, was aber unmöglich ist, da es diese Personen gar nicht geben kann, auf die dieser Effekt zutreffen würde, weil die Skala dies gar nicht zulässt. Insofern kann \(b_1\) nicht inhaltlich sinnvoll interpretiert werden.

\(b_2=0.11\) für die die Gruppe interpretiert werden, für die die Rahmenbedingungen null sind (X=0). Anders als eben gibt es diese Gruppe, nämlich jene Gruppe, der nichts über den Klimawandel als Ursache gesagt wurde. Für diese Gruppe gilt: \(b_2\) ist der der (geschätzte) Unterschied in der Stärke der Rechtfertigung unterlassener Hilfe zwischen zwei Personen, die sich in ihrer Skepsis gegenüber dem Klimawandel um eine Einheit unterscheiden. Dies ist also der bedingte Effekt der Klimawandelskepsis auf die Stärke der Rechtfertigung unterlassener Hilfeleisung in jener Gruppe, der eine natürlichen Ursache für die Hungersnot genannt worden war. Das Vorzeichen ist positiv, was bedeutet, dass unter den Teilnehmern (ohne Klimawandel als genannte Ursache) diejenigen, die dem Klimawandel skeptischer gegenüberstanden, stärkere Begründungen für die Verweigerung der Hilfe für die Opfer hatten. Im Gegensatz zu \(b_1\) ist dies inhaltlich bedeutsam.

\(b_3=0.20\) ist der Regressionskoeffizient für das Produkt X und W. Dieser Koeffizient gibt an, wie sich der Effekt von X auf Y verändert, wenn sich W um eine Einheit ändert. In diesem Fall ist \(b_3\) statistisch von Null verschieden, was bedeutet, dass die Auswirkung des Framings der Dürreursache auf die Stärke der Rechtfertigung für die Zurückhaltung der Hilfe von der Skepsis gegenüber dem Klimawandel abhängt. Genauer gesagt, wenn die Skepsis gegenüber dem Klimawandel um eine Einheit zunimmt, steigt der Unterschied in der Stärke der Rechtfertigungen zwischen denjenigen, denen gesagt wurde, dass der Klimawandel die Ursache sei, und denjenigen, denen dies nicht gesagt wurde, um 0.2 Einheiten. \(b_3\) quantifiziert also einen Unterschied zwischen Unterschieden.

Teilaufgabe d

Fertigen Sie ein Streudiagramm an, in welchem die Regressionsgeraden der beiden Gruppen eingezeichnet sind.

df_dstr %>% ggplot(aes(x = skeptic, y = justify, color = frame)) +
            geom_point() + 
            geom_smooth(method = "lm", formula = 'y ~ x', se = FALSE) +
            # labs(x = "Climate Change Skepticism (W)",
            #      y = "Strength of Justifications for Withholding Aid") +
            theme_bw()

Strength of Justifications for Withholding Aid by Climate Change Skepticism (W)

Teilaufgabe e

Testen Sie die bedingten Framing-Effekte für \(W = 4\) durch zentrieren des Prädiktors.

mdl_zent <- df_dstr %>% 
            mutate(skeptic_1 = skeptic-4) %>% 
            lm(data = ., justify ~ frame + skeptic_1 + frame:skeptic_1) #%>% 

summary(mdl_zent)

Call:
lm(formula = justify ~ frame + skeptic_1 + frame:skeptic_1, data = .)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-2.1267 -0.5864 -0.0117  0.5084  2.5484 

Coefficients:
                              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)                    2.87186    0.08151  35.233  < 2e-16 ***
frameClimate change            0.24226    0.11715   2.068 0.039887 *  
skeptic_1                      0.10508    0.03813   2.756 0.006375 ** 
frameClimate change:skeptic_1  0.20118    0.05527   3.640 0.000344 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.8129 on 207 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.2463,    Adjusted R-squared:  0.2353 
F-statistic: 22.54 on 3 and 207 DF,  p-value: 1.138e-12

The reparameterization caused by centering W has affected \(b_1\). Remember that \(b_1\) is a conditional effect when XW′ is in the model. It estimates the effect of X on Y when \(W′= 0\). So two cases that differ by one unit on X are estimated to differ by 0.117 units on Y when W′ = 0. But notice that \(W′=0\) when \(W = -0.378\), so \(b_1\) now estimates the difference in strength of justifications for withholding aid between those told climate change caused the drought and those not so told among those with average climate change skepticism. Among such people with average skepticism about climate change, those told climate change was the cause of the drought were 0.117 units higher, on average, in the strength of their justifications for withholding aid to the victims than those not told climate change was responsible. But this difference between the conditions is not statistically significant (p = :297). This is substantively meaningful, unlike when the model was estimated with W in its original metric. [S. 257]

Anmerkung. Hayes (2022, S. 255–257) geht bei der Zentrierung des Moderators um dessen Mittelwert aus, \(\bar{M}=3.38\). Es kann angenommen werden, dass auf einer Skala von 1 bis 9 gemessen wird (vgl. summary(df_dstr$skeptic)). Wieso hier mit -4 zentriert wird, ist unklar.

df_dstr %>% summarise(mean(skeptic))

# A tibble: 1 × 1
  `mean(skeptic)`
            <dbl>
1            3.38

Teilaufgabe f

Testen Sie die bedingten Framing-Effekte für \(W = 4\) mit Hilfe der Formeln. Der t-Wert wird folgendermaßen berechnet:

\[ t = \frac{b_1+b_3w}{SE_{\theta X\rightarrow Y}} \] wobei

\[ SE_{\theta X\rightarrow Y} = \sqrt{SE_{b1}^2+2w \times {COV}_{b_1b_3}+w^2 \times SE_{b_3}^2} \]

Aufgabe 2

Aufgabe 2

Analysieren Sie die Daten mit dem SPSS-Macro PROCESS.

Hier findet sich eine mögliche Lösung mit PROCESS.

Alternativ können die Daten mit dem 📦 brms-Paket analysiert werden:

library(brms)

Das Modell wird mit der brm()-Funktion analog zu lm() spezifiziert:

mdl_brm <- brm(justify ~ frame*skeptic, data = df_dstr)

Compiling Stan program...

Start sampling

SAMPLING FOR MODEL 'anon_model' NOW (CHAIN 1).
Chain 1: 
Chain 1: Gradient evaluation took 4.4e-05 seconds
Chain 1: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.44 seconds.
Chain 1: Adjust your expectations accordingly!
Chain 1: 
Chain 1: 
Chain 1: Iteration:    1 / 2000 [  0%]  (Warmup)
Chain 1: Iteration:  200 / 2000 [ 10%]  (Warmup)
Chain 1: Iteration:  400 / 2000 [ 20%]  (Warmup)
Chain 1: Iteration:  600 / 2000 [ 30%]  (Warmup)
Chain 1: Iteration:  800 / 2000 [ 40%]  (Warmup)
Chain 1: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%]  (Warmup)
Chain 1: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%]  (Sampling)
Chain 1: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%]  (Sampling)
Chain 1: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%]  (Sampling)
Chain 1: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%]  (Sampling)
Chain 1: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%]  (Sampling)
Chain 1: Iteration: 2000 / 2000 [100%]  (Sampling)
Chain 1: 
Chain 1:  Elapsed Time: 0.073 seconds (Warm-up)
Chain 1:                0.07 seconds (Sampling)
Chain 1:                0.143 seconds (Total)
Chain 1: 

SAMPLING FOR MODEL 'anon_model' NOW (CHAIN 2).
Chain 2: 
Chain 2: Gradient evaluation took 9e-06 seconds
Chain 2: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.09 seconds.
Chain 2: Adjust your expectations accordingly!
Chain 2: 
Chain 2: 
Chain 2: Iteration:    1 / 2000 [  0%]  (Warmup)
Chain 2: Iteration:  200 / 2000 [ 10%]  (Warmup)
Chain 2: Iteration:  400 / 2000 [ 20%]  (Warmup)
Chain 2: Iteration:  600 / 2000 [ 30%]  (Warmup)
Chain 2: Iteration:  800 / 2000 [ 40%]  (Warmup)
Chain 2: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%]  (Warmup)
Chain 2: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%]  (Sampling)
Chain 2: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%]  (Sampling)
Chain 2: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%]  (Sampling)
Chain 2: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%]  (Sampling)
Chain 2: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%]  (Sampling)
Chain 2: Iteration: 2000 / 2000 [100%]  (Sampling)
Chain 2: 
Chain 2:  Elapsed Time: 0.07 seconds (Warm-up)
Chain 2:                0.067 seconds (Sampling)
Chain 2:                0.137 seconds (Total)
Chain 2: 

SAMPLING FOR MODEL 'anon_model' NOW (CHAIN 3).
Chain 3: 
Chain 3: Gradient evaluation took 1e-05 seconds
Chain 3: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.1 seconds.
Chain 3: Adjust your expectations accordingly!
Chain 3: 
Chain 3: 
Chain 3: Iteration:    1 / 2000 [  0%]  (Warmup)
Chain 3: Iteration:  200 / 2000 [ 10%]  (Warmup)
Chain 3: Iteration:  400 / 2000 [ 20%]  (Warmup)
Chain 3: Iteration:  600 / 2000 [ 30%]  (Warmup)
Chain 3: Iteration:  800 / 2000 [ 40%]  (Warmup)
Chain 3: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%]  (Warmup)
Chain 3: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%]  (Sampling)
Chain 3: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%]  (Sampling)
Chain 3: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%]  (Sampling)
Chain 3: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%]  (Sampling)
Chain 3: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%]  (Sampling)
Chain 3: Iteration: 2000 / 2000 [100%]  (Sampling)
Chain 3: 
Chain 3:  Elapsed Time: 0.065 seconds (Warm-up)
Chain 3:                0.072 seconds (Sampling)
Chain 3:                0.137 seconds (Total)
Chain 3: 

SAMPLING FOR MODEL 'anon_model' NOW (CHAIN 4).
Chain 4: 
Chain 4: Gradient evaluation took 1e-05 seconds
Chain 4: 1000 transitions using 10 leapfrog steps per transition would take 0.1 seconds.
Chain 4: Adjust your expectations accordingly!
Chain 4: 
Chain 4: 
Chain 4: Iteration:    1 / 2000 [  0%]  (Warmup)
Chain 4: Iteration:  200 / 2000 [ 10%]  (Warmup)
Chain 4: Iteration:  400 / 2000 [ 20%]  (Warmup)
Chain 4: Iteration:  600 / 2000 [ 30%]  (Warmup)
Chain 4: Iteration:  800 / 2000 [ 40%]  (Warmup)
Chain 4: Iteration: 1000 / 2000 [ 50%]  (Warmup)
Chain 4: Iteration: 1001 / 2000 [ 50%]  (Sampling)
Chain 4: Iteration: 1200 / 2000 [ 60%]  (Sampling)
Chain 4: Iteration: 1400 / 2000 [ 70%]  (Sampling)
Chain 4: Iteration: 1600 / 2000 [ 80%]  (Sampling)
Chain 4: Iteration: 1800 / 2000 [ 90%]  (Sampling)
Chain 4: Iteration: 2000 / 2000 [100%]  (Sampling)
Chain 4: 
Chain 4:  Elapsed Time: 0.065 seconds (Warm-up)
Chain 4:                0.071 seconds (Sampling)
Chain 4:                0.136 seconds (Total)
Chain 4: 

summary(mdl_brm)

 Family: gaussian 
  Links: mu = identity; sigma = identity 
Formula: justify ~ frame * skeptic 
   Data: df_dstr (Number of observations: 211) 
  Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
         total post-warmup draws = 4000

Population-Level Effects: 
                           Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS
Intercept                      2.44      0.15     2.16     2.74 1.00     2516
frameClimatechange            -0.55      0.22    -0.98    -0.13 1.00     2325
skeptic                        0.11      0.04     0.03     0.18 1.00     2519
frameClimatechange:skeptic     0.20      0.06     0.09     0.31 1.00     2160
                           Tail_ESS
Intercept                      3082
frameClimatechange             2595
skeptic                        2731
frameClimatechange:skeptic     2598

Family Specific Parameters: 
      Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma     0.82      0.04     0.75     0.90 1.00     3121     2635

Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).

Eine Visualisierung ist mittels conditional_effects() möglich

conditional_effects(mdl_brm)

Literaturverzeichnis

Hayes, A. F. (2022). Introduction to mediation, moderation, and conditional process analysis: A regression-based approach (3. Aufl.). Guilford Publications.

Fußnoten

1. Für eine einfache Interpretation bietet es sich an, zumindest eine der beiden Variablen als dichotom zu wählen, was sich in Lehrbüchern widerspiegelt und entsprechend auch hier. Schuster schreibt dazu: “Leicht verständlich ist Moderierte Multiple Regression (MMR) dann, wenn der Moderator metrisch und die UV dichotom ist”

2. statt Interaktion sprechen wir von Produkt, da erstere der ANOVA zugeordnet wird